Pelos, saludos y palomas

El principio del palomar, un resultado muy evidente, puede dar respuesta a preguntas muy curiosas.

¿Hay en España dos personas que tengan exactamente el mismo número de pelos en la cabeza? Esta extraña pregunta, y otras más o menos curiosas, pueden responderse utilizando un resultado matemático que destaca por su extremada sencillez: “el principio del palomar”.

El “principio del palomar” dice básicamente que si tenemos que colocar unas cuantas palomas en palomares y tenemos más palomas que palomares, entonces en (al menos) un palomar habrá más de una paloma.

Evidente a la par que sencillo, ¿verdad? Pues, a pesar de ello, este resultado, atribuido a Dirichlet, es muy útil para resolver cierto tipo de cuestiones numéricas, como la que comentábamos al principio.

Vamos a plantear ahora, otra cuestión, eminentemente numérica, que también se puede resolver con este principio:

Demuestra que si escogemos tres números naturales cualesquiera (naturales: 1, 2, 3, 4, 5,…), siempre se cumple que habrá dos de ellos cuya resta es múltiplo de 2.

Esto es fácil de demostrar sin usar el principio del palomar con un simple análisis de todas las opciones posibles:

- Si hemos escogido tres impares, cualquier pareja tiene como resta un número par, y por tanto múltiplo de 2.

- Si hemos escogido dos impares y un par, la resta de los dos impares da un número par, múltiplo de 2.

- Si hemos escogido un impar y dos pares, la resta de los pares da un número par, también múltiplo de 2.

- Y si hemos escogido tres pares, la resta de cualesquiera dos de ellos da un número par, que vuelve a ser entonces múltiplo de 2.

Ahora, imaginad que escogemos 1000 números naturales y nos piden que demostremos que al menos dos de ellos cumplen que su resta es múltiplo de 999. Ahora sería una locura analizar todas las opciones, por lo que necesitamos otra estrategia. Vamos a usar el principio del palomar.

Al dividir un número natural entre 999, podemos obtener como resto de la división cualquier número entre 0 y 998, que son 999 restos distintos. Si dividimos nuestros 1000 números entre 999, obtendremos 1000 restos (uno por cada número). Tomando esos 1000 números como las palomas y los 999 restos distintos como los palomares, tenemos que al menos dos números dejarán el mismo resto al dividir entre 999.

Si llamamos M y N a esos dos números, tenemos entonces que M=999·P+R y que N=999·Q+R (distintos cocientes pero mismo resto). Si restamos llegamos a lo siguiente:

M-N=(999·P+R)-(999·Q+R)=999·P+R-999·Q-R=999·P-999·Q=999·(P-Q)

Es decir, su resta es múltiplo de 999. Usando el principio del palomar, hemos demostrado que entre nuestros 1000 números naturales siempre habrá al menos dos cuya resta será múltiplo de 999.

Fuente: Miguel Angel Morales (Diario El País). Extraído de:
http://elpais.com/elpais/2017/01/10/el_aleph/1484088947_059937.html